1、抛物线是指平面内到一个定点和一条定直线l距离相等的点的轨迹。


【资料图】

2、他有许多表示方法,比如参数表示,标准方程表示等等。

3、 它在几何光学和力学中有重要的用处。

4、 抛物线也是圆锥曲线的一种,即圆锥面与平行于某条母线的平面相截而得的曲线。

5、抛物线在合适的坐标变换下,也可看成二次函数图像。

6、  定义  平面内,到一个定点F和不过F的一条定直线l距离相等的点的轨迹(或集合)称之为抛物线。

7、另外 , F 称为"抛物线的焦点", l 称为"抛物线的准线"。

8、 定义焦点到抛物线的准线的距离为"焦准距",用p表示p>0. 以平行于地面的方向将切割平面插入一个圆锥,可得一个圆,如果倾斜这个平面直至与其一边平行,就可以做一条抛物线。

9、  编辑本段标准方程  抛物线的标准方程有四个: 抛物线  右开口抛物线:y^2=2px 左开口抛物线:y^2=—2px 上开口抛物线:x^2=2py 下开口抛物线:x^2=—2py p为焦准距(p>0) 在抛物线y^2=2px中,焦点是(p/2,0),准线l的方程是x=—p/2; 在抛物线y^2=—2px 中,焦点是(—p/2,0),准线l的方程是x=p/2; 在抛物线x^2=2py 中,焦点是(0,p/2),准线l的方程是y=—p/2; 在抛物线x^2=—2py中,焦点是(0,—p/2),准线l的方程是y=p/2;  编辑本段相关参数  (对于向右开口的抛物线) 离心率:e=1 焦点:(p/2,0) 准线方程l:x=-p/2 顶点:(0,0) 通径:2P ;定义:圆锥曲线(除圆外)中,过焦点并垂直于轴的弦 定义域(X≥0) 值域(Y∈R)  编辑本段解析式求法  以焦点在X轴上为例 知道P(x0,y0) 令所求为y^2=2px 则有y0^2=2px0 ∴2p=y0^2/x0 ∴抛物线为y^2=(y0^2/x0)x  编辑本段光学性质  经焦点的光线经抛物线反射后的光线平行抛物线的对称轴。

10、  编辑本段面积和弧长公式  抛物线  面积 Area=2ab/3 弧长 Arc length ABC =√(b^2+16a^2 )/2+b^2/8a ln((4a+√(b^2+16a^2 ))/b)  编辑本段其他  抛物线:y = ax^2 + bx + c (a≠0) 就是y等于ax 的平方加上 bx再加上 c a > 0时开口向上 a < 0时开口向下 c = 0时抛物线经过原点 b = 0时抛物线对称轴为y轴 还有顶点式y = a(x-h)^2 + k 就是y等于a乘以(x-h)的平方+k h是顶点坐标的x k是顶点坐标的y 标准形式的抛物线在x0,y0点的切线就是 :yy0=p(x+x0) 一般用于求最大值与最小值 抛物线标准方程:y^2=2px 它表示抛物线的焦点在x的正半轴上,焦点坐标为(p/2,0) 准线方程为x=-p/2 由于抛物线的焦点可在任意半轴,故共有标准方程y^2=2px y^2=-2px x^2=2py x^2=-2py  编辑本段对称性解题  我们知道,抛物线y = ax^2 + bx + c ( a ≠0 )是轴对称图形,它的对称轴是直线x = - b/ 2a ,它的顶点在对称轴上。

11、解决有关抛物线的问题时,若能巧用抛物线的对称性,则常可以给出简捷的解法。

12、 例1 已知抛物线的对称轴是x =1,抛物线与y轴交于点(0,3),与x轴两交点间的距离为4,求此抛物线的解析式。

13、 分析 设抛物线的解析式为y = ax^2 + bx + c 。

14、若按常规解法,则需要解关于a、b、c的三元一次方程组,变形过程比较繁杂;若巧用抛物线的对称性,解法就简捷了。

15、因为抛物线的对称轴为x =1,与x轴两交点间的距离为4,由抛物线的对称性可知,它与x轴交于A(-1,0)、B(3,0)两点。

16、于是可设抛物线的解析式为y = a(x+1)(x-3)。

17、又因为抛物线与y轴交于点(0,3),所以3 = -3a。

18、故a =-1。

19、 ∴y = -(x+1)(x-3),即 y = - x^2 + 2x +3。

20、 例2 已知抛物线经过A(-1,2)、B(3,2)两点,其顶点的纵坐标为6,求当x =0时y的值。

21、 分析 要求当x =0时y的值,只要求出抛物线的解析式即可。

22、 由抛物线的对称性可知,A(-1,2)、B(3,2)两点是抛物线上的对称点。

23、由此可知,抛物线的对称轴是x = 1。

24、故抛物线的顶点是(1,6)。

25、于是可设抛物线的解析式为y = a(x-1)2+ 6。

26、因为点(-1,2)在抛物线上,所以4a + 6 = 2。

27、故a = -1。

28、 ∴y = -(x-1)^2+ 6,即 y = - x^2 + 2x +5。

29、 ∴当x =0时,y = 5。

30、 例3 已知抛物线与x轴两交点A、B间的距离为4,与y轴交于点C,其顶点为(-1,4),求△ABC的面积。

31、 分析 要求△ABC的面积,只要求出点C的坐标即可。

32、为此,需求出抛物线的解析式。

33、由题设可知,抛物线的对称轴是x = -1。

34、由抛物线的对称性可知,A、B两点的坐标分别为(-3,0)、(1,0)。

35、故可设抛物线的解析式为y = a(x+1)^2+ 4[或y = a(x+3)(x-1)]。

36、 ∵点(1,0)在抛物线上, ∴4a + 4 = 0。

37、∴a = -1。

38、 ∴y = -(x+1)2+ 4,即 y = - x2 - 2x +3。

39、 ∴点C的坐标为(0,3)。

40、 ∴S△ABC = 1/2×(4×3)= 6。

41、 例4 已知抛物线y = ax2 + bx + c的顶点A的纵坐标是4,与y轴交于点B,与x轴交于C、D两点,且-1和3是方程ax2 + bx + c =0的两个根,求四边形ABCD的面积。

42、 分析 要求四边形ABCD的面积,求出A、B两点的坐标即可。

43、为此,要求出抛物线的解析式。

44、由题设可知,C、D两点的坐标分别为(-1,0)、(3,0)。

45、由抛物线的对称性可知,抛物线的对称轴是x = 1。

46、故顶点A的坐标是(1,4)。

47、从而可设抛物线的解析式为y = a(x-1)2+ 4[或y = a(x+1)(x-3)]。

48、 ∵点(-1,0)在抛物线上, ∴4a + 4 = 0。

49、故a = -1。

50、 ∴y = -(x-1)^2+ 4,即 y = - x^2 + 2x +3。

51、 ∴点B的坐标为(0,3)。

52、 连结OA ,则S四边形ABCD = S△BOC + S△AOB + S△AOD = 1/2×1×3+1/2×3×1+1/2×3×4=9  编辑本段相关结论  过抛物线y^2=2px(p>0)焦点F作倾斜角为θ的直线L,L与抛物线相交于A(x1,y1),B(x2,y2),有 ① x1*x2 = p^2/4 , y1*y2 = —P^2 ② 焦点弦长:|AB| = x1+x2+P = 2P/[(sinθ)^2] ③ (1/|FA|)+(1/|FB|)= 2/P ④若OA垂直OB则AB过定点M(2P,0) ⑤焦半径:|FP|=x+p/2 (抛物线上一点P到焦点F距离等于到准线L距离) ⑥弦长公式:AB=√(1+k^2)*│x2-x1│ ⑦△=b^2-4ac ⑴△=b^2-4ac>0有两个实数根 ⑵△=b^2-4ac=0有两个一样的实数根 ⑶△=b^2-4ac<0没实数根 ⑧由抛物线焦点到其切线的垂线,是焦点到切点的距离,与到顶点距离的比例中项。

53、  编辑本段定义解题  例:已知F是抛物线y^2=4x的焦点,A(3,2)是一个定点,P是抛物线上的动点,求|PA|+|PF|的最小值和此时P的坐标。

54、 解:设抛物线的准线为L,过P作PH⊥L,垂足为H,再过A点作AH’⊥L,垂足为H’,并交抛物线于P’。

55、连结P’F。

56、则: |PA|+|PF|=|PA|+|PH|≥|AH’|=|P’A|+|P’H|=|P’A|+|P’F| 所以,|PA|+|PF|的最小值是|AH’|,而准线方程x=-1 故|PA|+|PF|的最小值是4,此时,P’的坐标是(1,2)。

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